Diplômée de la Ben Greet Academy of Acting de Londres (1924-1927), elle s'affirme immédiatement comme une actrice aux talents multiples et remporte autant de succès dans les pièces classiques que dans les pièces contemporaines. Elle interprète le rôle d'Ophelia dans Hamlet en 1934 et de Cordelia dans King Lear (v.f. Le Roi Lear) en 1940, deux pièces mises en scène par John Gielgud. Tandy joue en 1937 aux côtés de Laurence Oliver dans Twelfth Night (v.f. La Nuit des rois) et Henry V au Old Vic, mises en scène par Tyrone Guthrie. En 1942, elle épouse l'acteur canadien Hume Cronyn. Le couple est souvent comparé aux Lunts parce qu'ils jouent très souvent ensemble dans de nombreuses pièces mémorables.
Tandy reçoit de nombreux hommages, notamment des molières pour son interprétation remarquable de Blanche Dubois dans A Streetcar Named Desire (1948; v.f. Un tramway nommé désir) de Tennessee William, et pour ses prestations dans The Gin Game (1978) et Foxfire (1982).
Par ailleurs, ses rôles dans Happy Days (v.f. Oh! Les beaux jours) et Not I (v.f. Pas moi) de Samuel Beckett (1972) lui valent des Obie and Drama Desk Awards. En 1986, son rôle dans The Petition, où elle donne la réplique à Cronyn, lui vaut une mise en nomination pour un molière. En 1994, Tandy et Cronyn reçoivent chacun un molière spécial pour l'ensemble de leur carrière au théâtre et sont mis en nomination pour des Emmy Awards pour leur rôle dans To Dance With the White Dog (1994).
Tandy interprète des rôles importants au Canada, dont celui de Hesione Hushabye dans Heartbreak House au Shaw Festival en 1968; d'Hippolyta/Titania dans A Midsummer Night's Dream (v.f. Songe d'une nuit d'été) et de lady Wishfort dans The Way of the World au Festival de Stratford en 1976. Elle interprète aussi le rôle-titre dans Eve de Larry Fineberg en 1976 et joue le rôle d'Annie Nations dans Foxfire en 1980. Au Theatre London en 1977, elle joue dans Long Day's Journey Into Night, sous la direction de Robin Phillips.
Tandy mène une importante carrière cinématographique et remporte l'Oscar de la meilleure actrice pour son rôle dans le film Driving Miss Daisy (1989; v.f. Miss Daisy et son chauffeur). Elle est aussi mise en nomination pour l'Oscar du meilleur second rôle dans Fried Green Tomatoes (1991). À l'âge de 80 ans, elle est la comédienne la plus âgée à remporter un Oscar.
Elle joue par ailleurs dans de nombreux films marquants, dont The Birds (1963; v.f. Les oiseaux), Butley (1974), The World According to Garp (1982; v.f. Le monde selon Garp), The Bostonians (1984), Cocoon (1985; v.f. Cocoon), Batteries not included (1987; v.f. Piles non comprises), Used People (1992; v.f. Quelle famille), Camilla (1994; v.f. Camilla) et Nobody's Fool (1994; v.f. Un homme presque parfait).
En 1974, l'U. de Western Ontario lui remet un doctorat en droit honorifique.